Tugas Metode Numerik

Galat

Dalam statistika dan matematika stokastik, galat (bahasa Inggris: error) adalah bagian dari variasi data yang tidak dimasukkan ke dalammodel. Dalam literatur, galat dikenal pula sebagai sesatan, pengotor, sisa, residu, atau noise. Pada suatu model data sederhana, masing-masing nilai pengamatan (pengamatan) dapat dipilah menjadi rerata (mean) dan simpangannya(deviation). Di sini, galat sama dengan simpangan. Galat yang demikian ini disebut sebagai galat pengamatan. Dalam pengambilan contoh data dari suatu populasi, galat adalah penyimpangan nilai rerata contoh dari rerata populasi. Galat ini dikenal sebagai galat pengambilan contoh (sampling error) atau galat contoh saja. Modul 1: Analisis Galat (error) dan Masalah-masalah Mendasar Dalam Komputasi Numeris (dengan Turbo Pascal dan FORTRAN 77/90/95)

A. Kendala Dalam Sistem Komputasi Numerik Dalam komputasi numerik,

Yaitu perhitungan yang menggunakan bahasa-bahasa pemrograman (Pascal, FORTRAN, C, C++, dll.), selalu dijumpai beberapa kendala sistematis yang berhubungan dengan  sistem kerja  “prosesor” dan atau  “koprosesor” dari komputer yang digunakan. Kendala-kendala yang dijumpai umumnya berupa sesatan (error),  pembulatan (round-off) dan  stabilitas (stability). Di samping itu, problem-problem íntrinsik’ yang dimiliki oleh setiap compiler bahasa  pemrograman juga turut mempengaruhi kendala-kendala tersebut.

B. Solusi Analitis dan Numeris. Secara matematis,

     Semua problem seharusnya dapat diselesaikan, betapapun sulitnya. Pada dasarnya, solusi problem matematis tersebut dapat digolongkan dalam 2 bagian besar berikut:

a.       Solusi EKSAK (exact solution) : hasil penyelesaian suatu problem matematis yang identik dengan hasil penyelesaian yang diperoleh melalui metode analitis

b.      Solusi PENDEKATAN (approximative solution) : hasil penyelesaian suatu problem matematis dengan metode numerik  yang umumnya merupakan  pendekatan terhadap solusi eksak karena adanya ketidakpastian dan sesatan (uncertainty and errors) dalam proses penyelesaian problem dalam metode numerik

Namun, di dalam dunia teknik umumnya lebih dipilih teknik-teknik  solusi yang   

praktis dan menghemat waktu. Dalam hal ini,  solusi  pendekatan seringkali

digunakan karena dianggap relatif praktis dan dapat menghemat waktu.

c. Teknis dan Proses Penyelesaian Problem Secara  sistematis,  pada dasarnya teknis dan

     proses penyelesaian dapat dilakukan berdasarkan urutan atau sekuens kerja berikut:

1.      Formulasi yang tepat dari suatu model matematis dan atau  pada model

numerik yang sepadan

2.  Penyusuanan suatu metode untuk penyelesaian problem  numerik

3.  Implementasi metode yang dipilih untuk proses komputasi  solusi/jawaban.  

Problem (dunia) nyata Formulasi : MODEL MATEMATIS dan MODEL  NUMERIK. Penyusunan Metode, Implementasi Metode, Ketidakpastian

S o l u s i

Sekuens teknik dan proses penyelesaian problem matematis

a.       Problem nyata : fenomena atau proses-proses kehidupan alamiah yang  dijumpai sehari-hari (gravitasi, banjir, populasi, gerakan angin, dll.)

b.      Matematika digunakan untuk pembentukan model karena mempunyai bahasa dan

kerangka-kerja yang baku.

C. Model Matematis dan Solusi Numeris

Dalam problem-problem teknik, rekayasa ataupun perancangan, pada umumnya dapat diselesaikan atau dicari solusinya secara numerik, karena  ‘model matematik’ yang dimiliki diubah terlebih dahulu menjadi ‘model numeris’:

a.Pendekatan Numerik : dilakukan untuk memudahkan  pemahaman persepsi MODEL  

   MATEMATIKA, dengan cara  mengalihkannya menjadi MODEL NUMERIK.

b.Model Numerik : model yang pada prinsipnya dapat diselesaikan menggunakan sejumlah  

   tertentu tahapan-tahapan  pendekatan atau perhitungan.

D. Solusi Numeris dan Sesatan

Seperti telah dijelaskan di atas, setiap solusi-solusi numeris yang diaplikasikan pada komputer selalu berkendala, namun demikian pada umumnya masih dapat ditoleris berdasarkan analisis kesalahan (galat) yang dilakukan:

1. Sesatan Pemotongan (truncation error) : sesatan atau kesalahan yang terjadi karena adanya pemotongan atau penyederhanaan proses perhitungan yang berlangsung secara tak berhingga Ë INTUITIF (mathematically unsolvable problem ! )
2. Sesatan Pembulatan (round-off error) : sesatan atau kesalahan  yang terjadi karena adanya pembulatan atau  penyederhanaan penyimpanan bilangan yang dilakukan dalam “memori” komputer Ë Notasi ilmiah dalam PERANGKAT KERAS !

E. Konsep Konvergensi

Konvergensi seringkali digunakan dalam solusi-solusi numeris,  sebagai parameter (alat  estimasi) untuk memperkirakan bilamana problem yang dihadapi memiliki solusi atau jawab yang “mendekati  solusi eksak”,  “dapat diterima dengan  prosentase  galat tertentu”,  atau bahkan  “tidak memiliki solusi”. Bila suatu problem menemui atau cenderung pada suatu “domain jawab”, maka problem tersebut  dapat dikatakan  ‘konvergen’, sedangkan bila sebaliknya, maka problem tersebut disebut ‘divergen’. Pengertian-pengertin lain yang berhubungan dengan konvergensi ini adalah:

a.       Order Konvergensi (order of convergence) : laju atau kecepatan perubahan sesatan 

pemotongan menjadi nol sebagai  fungsi dari parameter-parameter metode yang  dipilih :

1. Metode menuju konvergen setara 1/N

2. Metode menuju konvergen setara 351,/k

3. Metode menuju konvergen setara 2h

4. Metode menuju konvergen secara eksponensial

5. Sesatan pemotongan berorder 51/N

6. Order sesatan sebesar 4h

7. Laju konvergensi setara (log N ) /N

b. Notasi Ilmiah (scientific notation) : representasi angka atau penulisan bilangan dalam

    memori komputer berdasarkan kaidah  baku perangkat keras, yaitu :

    Pernyataan “berorder 21/N ” berarti juga “berkelakuan sebagai 21/N ”, yang umumnya

    ditulis sebagai : ( / ) 2 = 0 1 NMetode Numerik

Simbol 0-besar didefinisikan sebagai berikut :

Suatu fungsi  f ( x ) dikatakan sebagai 0( g ( x )) pada saat  x menuju  L bila :

¥ > ( ) ® ( ) lim g x f x x L & Coba pikirkan !

1. 25 /N , 2310 /N + 1/N dan  N e N N/ / ,-+ -26 2 semuanya adalah  ( / ) 201 N pada saat  N menuju  L = ¥
2. 4h ,  h h /log h 2 3 + dan 2 3 - h + h - h semuanya adalah  adalah 0( h ) pada saat h menuju  L = 0.

1 Coba buat programnya dan analisis order konvergensinya !

1. Estimasi atau solusi pendekatan untuk turunan dari  persamaan :

2  f ( x ) = sin x pada  x = 5 , dengan metode :

          A.  h f ( x + h ) - f ( x )

          B.  hf x h f x h 2 ( - ) - ( + )

3.  Analisislah propagasi harga-harga dari deret Taylor  untuk  e (bilangan natural) dan  -  12 ,

     yaitu :

          å ¥ = = N 0 ! N x N xe ,   N = jumlah bilangan berhingga

Sesatan  Mutlak 1/H Kurva pengaluran sesatan log-log dari problem diferensiasi sederhana untuk persamaan  2 :

f ( x ) = sin x pada x = 5 .Metode Numerik Sesatan N = jumlah bilangan berhingga Kurva pengaluran log-log sesatan dari  deret Taylor untuk persamaan :

X f ( x ) = e .

F. Konsep Konvergensi

Berikut ini diberikan contoh-contoh program, dalam bahasa Turbo Pascal dan FORTRAN. Program pertama merupakan program untuk mengestimasi galat sistematis  yang dimiliki suatu komputer dan programnya  (disebut epsilon mesin). Diagram aliran (organigram) dari proses penghitungan ‘epsilon mesin’ tersebut adalah sebagai berikut:

Mulai Epsm = 1,0 (Epsm + 1,0) > 1.0 ?

Epsm = Epsm/2,0 Epsm Selesai

Diagram alir proses penghitungan epsilon mesin (epsm).

Listing program (source code) dari  proses penghitungan di atas, dalam bahsa Turbo Pascal, adalah sebagai berikut:

Program dalam TURBO Pascal : 

   Var

   Epsm : Real;  {atau Extended} Begin

   Epsm := 0.0;

   While (Epsm + 1.0) > 1.0 do

   Epsm := Epsm/2.0;

   Writeln(‘Epsilon Mesin = ‘,Epsm);

   Readln;

   End.

Sedangkan, dalam bahsa  FORTRAN (77,  90, atau  95), adalah sebagai berikut:

Program dalam FORTRAN:

      IMPLICIT NONE

REAL Epsm

C Dapat juga dipakai REAL*8

    Epsm = 1.0D0

    DO WHILE (Epsm + 1.0D0) .GT. 1.0)

    Epsm = Epsm/2.0D0

    ENDDO

   WRITE(*,*) ‘Epsilon Mesin = ‘,Epsm

END

Program  kedua merupakan program untuk mengestimasi  secara  numeris ungkapan exp(x). Diagram aliran (organigram) dari proses penghitungan tersebut adalah sebagai berikut:

Exp(x)

Selesai x,sum,DEN,NUM N,I,J

Mulai x, N sum = 1,0

I =  1…N

NUM = 1,0

DEN = 1,0

J =  1…I

NUM = NUM*x

DEN = DEN*J

J £ I

J > I

Ç Å I £ N Ç

sum = sum + NUM/DEN

Å I £ N Å

Program dalam TURBO Pascal :

Var

   x : Real; 

   sum,NUM,DEN : Double; {atau Extended}

   N,I,J : Integer;

Begin

   Write(‘x = ‘); Readln(x);

Write(‘N = ‘); Readln(N);

   sum := 0.0;

For I := 1 to N do

   Begin

      NUM := 1.0; DEN := 1.0;

      For J := 1 to I do

Begin

         NUM := NUM*x; DEN := DEN*J

End;

      sum := sum + NUM/DEN

   End;

Writeln(‘Exp(x) = ‘,sum);

Readln;

End.